Funcions II: problemes de Matemàtiques CC.SS. de la Selectivitat
Problemes de plantejar la funció des de zero. Creixement i decreximent. Optimització.
29 problemes dels exàmens oficials de les PAU de Catalunya (2015-2026) classificats en aquest tema. A continuació hi ha el començament de cada enunciat; l'enunciat complet, les imatges i la solució pas a pas són a la web.
Practica aquest tema amb les solucionsExamen de model 2025, Problema 1
Exercici 1. Dues companyies de taxi, A i B, ofereixen tarifes diferents. La companyia A ofereix un cost fix de 20 € més 0,4 € per quilòmetre recorregut, mentre que el preu de la companyia B segueix la funció g(x) = 0,01x^2 + 0,1x + 10, en què x representa el nombre de quilòmetres recorreguts. a) Quina de les dues…
Examen de model 2025, Problema 4
Exercici 4, Opció A Exercici 4 Una pagesa contracta una empresa de conductors perquè li portin els tractors fins als pobles on han de treballar. Suposem que els conductors fan tot el trajecte a una velocitat constant. Trieu una opció (opció A o opció B) i responeu les preguntes de l'opció triada: OPCIÓ A a) Suposem…
Examen de model 2025, Problema 5
Exercici 4, Opció B (apartat a) Exercici 4 Una pagesa contracta una empresa de conductors perquè li portin els tractors fins als pobles on han de treballar. Suposem que els conductors fan tot el trajecte a una velocitat constant. Trieu una opció (opció A o opció B) i responeu les preguntes de l'opció triada: OPCIÓ B…
Juny 2025, Sèrie 1, Problema 6
Exercici 4, Opció B (apartat b) b) Un hotel situat prop de l'espai on se celebrarà el Congrés ha fet un estudi de mercat. Inicialment es plantejaven oferir l'habitació doble a un preu de 80 € la nit i amb aquest preu estimaven que tindrien 100 reserves d'habitacions dobles. Però l'estudi mostra que la relació entre…
Setembre 2025, Sèrie 3, Problema 1
Exercici 1 Un agricultor ha observat que si es planten 25 pereres per hectàrea, el rendiment és de 370 peres per arbre. A més a més, també ha comprovat que la relació entre el nombre de peres per arbre i el nombre de pereres per hectàrea és lineal, de manera que per cada arbre plantat de més per hectàrea, el…
Juny 2025, Sèrie 4, Problema 5
Exercici 4 (Opció A, apartat b) b) Cada paquet de pasta té un cost total de producció de 0,5 €. Si l'empresa el ven per 1,1 €, es venen 1.000 paquets diaris de pasta. També han comprovat que la relació entre el preu de venda i el nombre de paquets venuts és lineal, de manera que per cada 0,01 € que s'apuja el preu de…
Juny 2024, Sèrie 1, Problema 3
3. Una pagesa contracta un conductor perquè porti un tractor fins a un poble que es troba a 300 km de distància. Sabem que el gasoil que fa servir el tractor costa 1,96 € per litre i que el conductor cobra 14,70 € l'hora. Suposem que el conductor farà tot el trajecte a una velocitat constant i que el consum de gasoil…
Setembre 2024, Sèrie 3, Problema 3
3. L'Ona vol construir una capsa de cartró de base quadrada i oberta (sense tapa) per a posar-hi retoladors i colors, com la de la figura següent: [Dibuix d'una capsa de base quadrada amb costats de la base x i alçada y] La capsa ha de tenir un volum de 4 litres. a) Expresseu l'alçària de la capsa (y) en funció de la…
Juny 2024, Sèrie 5, Problema 3
3. Una empresa de lloguer de vehicles disposa d'una flota de 250 vehicles. Si el preu del lloguer diari d'un vehicle és de 50 €, aconsegueix llogar-los tots. S'ha observat que la relació entre el preu del lloguer dels vehicles i el nombre de vehicles que es lloguen és lineal, de manera que per cada euro que…
Juny 2023, Sèrie 1, Problema 1
1. El preu d'un vol entre Barcelona i Islàndia és de 500 €. Una companyia aèria té capacitat per a 300 passatgers diaris, però hi ha una determinada època de l'any en què només ven 180 bitllets. Després de fer un estudi de mercat, la companyia s'adona que la relació entre el preu del bitllet i el nombre de passatgers…
Setembre 2023, Sèrie 2, Problema 6
6. Una botiga ven un tipus determinat d'ampolla d'aigua a 70 cèntims. Aquesta setmana fa una oferta de 4 \times 3, és a dir, que si comprem quatre ampolles d'aigua només en paguem tres. La botiga també ha anunciat que la propera setmana l'oferta de 4 \times 3 ja no serà vigent, però, en canvi, aplicarà un 20% de…
Setembre 2022, Sèrie 3, Problema 1
1. El cost de producció (en euros) de x unitats d'un producte determinat és donat per la funció C(x) = 0,02x^2 + 3x + 100. Aquestes unitats es posen a la venda i el preu de venda unitari (en euros) depèn del nombre d'unitats produïdes x. Concretament, és donat per la funció p(x) = 47 - 0,06x. Suposem que es venen…
Juny 2022, Sèrie 5, Problema 5
5. Una fàbrica de vehicles produeix cotxes d'un model anomenat Paradís i els ven a 58.000 €. Sabem que els costos mensuals de producció són donats per la funció C(x) = \frac{1}{2} x^2 - 64x + 4.704 (en milers d'euros), en què x denota el nombre de cotxes que es fabriquen mensualment. a) Suposant que es venen tots els…
Juny 2021, Sèrie 2, Problema 4
4. Un granger vol construir un corral rectangular per als seus conills. Sabem que només disposa de 40 m lineals de tanca metàl·lica. a) Anomenem x l'amplària del corral i y la seva llargària. Escriviu la funció que permet calcular l'àrea del corral tenint en compte només l'amplària x. [1,25 punts] b) Calculeu en quin…
Juny 2020, Sèrie 1, Problema 3
3. El cost d'elaboració d'un menú en un restaurant és de 8 €. S'ha realitzat un estudi de mercat i s'ha arribat a la conclusió que si el preu del menú és de 18 € entren a dinar al restaurant 120 clients. També s'ha conclòs que la relació entre el preu del menú i el nombre de clients és lineal, de manera que, per cada…
Juny 2020, Sèrie 3, Problema 6
6. Un centre de formació organitza un curs subvencionat que té un cost fix de 9.000 €, al qual cal sumar una quantitat que varia segons el nombre d'alumnes del curs i que és donada per la funció 0,02x^3 - 24x, en què x representa el nombre d'alumnes matriculats. El Consell Comarcal ha atorgat al centre una subvenció…
Juny 2019, Sèrie 4, Problema 5
5. Un comerciant pot comprar articles a 350 € la unitat. Si els ven a 750 € la unitat, en ven 30. Sabem que la relació entre aquestes dues variables (el preu de venda i el nombre d'unitats venudes) és lineal i que, per cada descompte de 20 € en el preu de venda, incrementa les vendes en 3 unitats. Considerant que el…
Setembre 2019, Sèrie 5, Problema 2
2. Per a la campanya d'aquest estiu, una botiga d'esports que ven patinets elèctrics espera vendre 40 patinets a un preu de 1.000 € per patinet. Segons un estudi de mercat, la relació entre el nombre de vegades que es rebaixa el preu del patinet en 50 € i el nombre de patinets venuts és lineal, i, per cada 50 € de…
Juny 2018, Sèrie 1, Problema 5 (Opció A)
5. Una companyia de mòbils va presentar fa un any un telèfon intelligent al preu de 750 €. Recentment, un estudi de mercat ha arribat a la conclusió que, amb aquest preu, compren el telèfon 2.000 clients al mes, i que la relació entre aquestes dues variables és lineal, de manera que per cada 10 € que s'incrementa el…
Juny 2018, Sèrie 5, Problema 3 (Opció B)
3. Sigui y = f(x) una paràbola que té el vèrtex en el punt V = (0, -4) i talla l'eix de les abscisses en els punts (-2, 0) i (2, 0). a) Determineu-ne l'equació. [1 punt] b) Sigui una funció g tal que g'(x) = f(x). Estudieu el creixement de la funció g, determineu-ne les abscisses dels extrems relatius i…
Setembre 2017, Sèrie 2, Problema 2 (Opció A)
2. Un gimnàs cobra una quota de 42 euros mensuals i té 2.000 usuaris. Un estudi de mercat afirma que per cada euro que s'apuja (o s'abaixa) la quota es perden (o es guanyen) 20 usuaris. a) Expresseu el nombre d'usuaris del gimnàs en funció de la quota, tenint en compte que la relació entre les dues variables és…
Setembre 2017, Sèrie 2, Problema 6 (Opció A)
6. El vèrtex d'una paràbola és el punt (1, 2). a) Si la paràbola talla l'eix de les abscisses pel punt de la paràbola amb l'eix de les abscisses? [1 punt] b) Trobeu l'equació de la paràbola. [1 punt] (120) 2 quin serà l'altre punt de tall
Juny 2017, Sèrie 5, Problema 5 (Opció A)
5. El I preu en euros d'una pedra preciosa és cinc vegades el quadrat del seu pes en grams. Si tenim una pedra preciosa de 8 grams i ens plantegem partir-la en dos trossos: a) Quin pes ha de tenir cadascun dels trossos perquè el conjunt valgui el mínim possible? [1 punt] b) Quin és el preu mínim i el preu màxim que…
Juny 2016, Sèrie 3, Problema 1 (Opció A)
1. Una fàbrica de mobles de cuina ven 1.000 unitats mensuals d'un model d'armari a 200 € per unitat. Per tal de reduir-ne l'estoc, fa una oferta als compradors i estima que, per cada euro de reducció del preu, les vendes mensuals del producte s'incrementaran en 100 unitats. a) Quantes unitats caldrà vendre per a…
Juny 2016, Sèrie 5, Problema 1 (Opció A)
1. Dues de les escales que se solen usar per a mesurar temperatures, l'escala Fahrenheit i l'escala Celsius, estan relacionades linealment, és a dir, la funció que dóna la temperatura F en graus Fahrenheit a partir de la temperatura C en graus Celsius és una recta. L'escala Celsius estableix els 0°C com a temperatura…
Juny 2015, Sèrie 2, Problema 1 (Opció A)
1. Un arbre té un volum de 30 m³ i, per la qualitat de la seva fusta, es ven a 50 € per metre cúbic. Cada any l'arbre augmenta el volum en 5 m³. Alhora, la qualitat de la fusta de l'arbre disminueix, i també el preu, que cada any és un euro per metre cúbic més barat. D'aquí a quants anys aconseguirem el màxim…
Juny 2015, Sèrie 4, Problema 3 (Opció A)
3. El preu, expressat en milers d'euros, del robí africà és el doble del quadrat del seu pes en grams, mentre que el preu del robí tailandès és quatre vegades el cub del seu pes en grams. Ens han enviat un paquet amb dos robins, un de cada classe, que en total pesen 2 grams. a) Si els dos robins pesessin el mateix,…
Setembre 2015, Sèrie 5, Problema 2 (Opció A)
2. Un hotel cobra 45 € per habitació i nit. Per aquest preu, té ocupades 165 habitacions cada nit. S'ha fet un estudi a partir del qual s'ha deduït que, per cada euro que s'apugi el preu de l'habitació, se n'ocuparà una menys cada nit. a) Six és la quantitat que s'apuja el preu de l'habitació per sobre dels 45 €…